习题 11, § 4

令$A$为克鲁尔域，$M, N$为有限秩$n$的向量空间$V$在$A$的分数的域上的两个有限生成格。对于$A$中的所有$c \neq 0$使得$cN \subset M$，考虑行列理想$d_k(M/cN)$（习题10）并写出：

(a) 证明$d_k(N, M)$不依赖于$c$的选择使得$cN \subset M$； $d_k(N, M)$ 称为指标 $k$ $N$ 相对于$M$ 的行列式除子。 (b)$d_k(N, M) \geq d_{k+1}(N, M)$和$d_n(N, M) = 0$。表明，如果我们写 那么 $1 \leq k \leq n$； 除子$e_k(N, M)$被称为$N$相对于$M$的不变量因子（约化对于$A$是主理想整环的情况）。 (c) 证明 $d_0(N, M) = \chi(M, N)$ (no. 5 )。 (d) 如果$M$是$V$中的格，而$N$是秩$q < n$的$V$的子空间$W$中的格，则$N$的不变量因子关于$M \cap W$ 被称为$N$相对于$M$的不变量因子。展示如何将代数、章 VII, § 4 的习题 8 扩展至 10 和 14 至 16（假设在某些情况下需要，$A$ 是一个整体封闭的诺特域）。