习题 22, § 4

设 A 为局部环，其最大理想值，E 有限生成A-模。

(a) 如果 $r = \gamma(E)$ 是 E 的生成元系统的基数中的最小基数，则 r 也是使行列理想 $d_h(E)$ 等于 A 的最小整数 h，也是整数 k 中的最小基数，使得 $\bigwedge^{k+1} E = 0$ (注使得 r 为E/mE 与 A/m 的秩）。

(b) 如果我们写 $e(E) = d_{r-1}(E)$，则证明 $\bigwedge^r E$ 同构于 $A/e(E)$。对于 A 到包含 e(E) 的理想 a，E/aE 是自由 (A/a) 模是必要且充分的（约化对于 $a = 0$ 的情况）。

(c) 如果 e(E) 是主理想 $A\alpha$，则证明 E 包含直因子同构于 $A/A\alpha$（将 E 写为 $A^r$ 与子模 R 和注的商，R 元素与形式的商） $\alpha y$，其中 y 是基 / $A^r$ 的元素）。

(d) 对于$0 \leq h \leq r-1$，令$d'_h(E)$为$\bigwedge^{h+1} E$的湮没子。证明以下条件是等价的： (α) 理想$d_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) 是主要的。 (β) 理想$d'_h(E)$ ($0 \leq h \leq r-1$) 是主要的。 (γ) E 是 r 模的直和，与 $A/A\lambda_n$ 同构的，其中 $\lambda_{n+1}$ 除 $\lambda_n$ 对于 $0 \leq h \leq r-1$。 此外，如果这些条件成立，则$d'_h(E) = A\lambda_h$适用于$0 \leq h \leq r-1$，$d_h(E) = \lambda_n \lambda_{n+1} \ldots \lambda_{r-1} A$适用于$0 \leq h \leq r-1$。 （使用 (c) 在 r 上继续归纳。）

(e) 进一步假设 A 是整环。证明，如果 p 是 A 的素理想，使得 $E/pE$ 是一个自由 (A/p) 模，而 E 是一个自由 A,-模，则 E 是自由A-模（使用 (b)，证明 $\gamma(E_p) = \gamma(E)$ 和 $e(E_p) = e(E)$）。