习题 1, § 10

令$X$为集合的直接系统$(X_i, f_{ji})$相对于右有向集合$I$的直极限。令$F_i$（或$F$）为在$X_i$（或$X$）上构造的自由群；每个 $f_{ji}$ 扩展至同态 $\phi_{ji}: F_i \to F_j$。

(a) 证明 $(F_i, \phi_{ji})$ 是群的直接系统。

(b) 设$\varepsilon_i$为复合映射$X_i \to F_i \to \lim \overrightarrow{F_i}$。证明 $\varepsilon_j \circ \phi_{ji} = \varepsilon_i$ 如果 $j \geq i$。让$\varepsilon$是$X$的映射进入由$\varepsilon_i$定义的$\lim \overrightarrow{F_i}$。证明$F$的$\varepsilon$扩展到同构到$\lim \overrightarrow{F_i}$上（这样$F(\lim \overrightarrow{X_i})$可以与$\lim \overrightarrow{F(X_i)}$识别）。

(c) 陈述并证明自由岩浆、自由幺半群、自由交换群、自由交换幺半群的类似结果。