习题 6, § 3

如果对于所有 $x \in E$，左平移 $\gamma_x$ 和 $\delta_x$ 是双射的映射，则 $E$ 上合成 $\top$ 的内部律被称为 $E$ 上的确定拟群结构$E$ 自身。如果律 $\top$ 对其自身具有双重分配性，则称拟群是可分配的。

(a) 确定 $2 \leq n \leq 6$ $n$ 元素集合上的所有分配拟群结构。

(b) 证明有理数数的集合 $\mathbf{Q}$，以及律合成 $(x, y) \mapsto \frac{1}{2}(x + y)$，是一个分配拟群。

(c) 在分配拟群$E$中，每个元素都是幂等的。推出，如果E有多个元素，则律$\top$既不能有单位元素，也不能结合。

(d) 分配拟群 E 的右平移和左平移是 E 的自同构。

(e) 如果 E 是有限分配拟群，则在 E 的每个稳定子集上导出的结构是分配拟群结构。

(f) 令 E 为分配拟群。如果 R 是等价关系，则左（或右）与律 $\top$、类 mod 相容的（no. 3）。 R 是 E 的稳定子集。如果 E 是有限的，则所有这些类都是通过左（或右）平移从另一个获得的；相同条件下，若R与律$\top$相容的，则E/R上的商结构是分配拟群结构。

(g) 令 E 为分配拟群。 E 的元素的集合 $A_a$ 对于给定元素 a 可置换，是稳定的；如果E是有限的，对于所有$x \in A_a$，$A_x = A_a$（注，使用（e），存在$y \in A_a$使得$x = a \top y$）并且当x运行通过E时集合$A_x$与等价类关于关系兼容律$\top$。

(h) 如果 E 是有限分配拟群且律 $\top$ 是可交换的，则 E 的元素的数是奇数（考虑 E 的元素的有序对 $(x, y)$，使得 $x \top y = y \top x = a$，其中给定 a）。