Bourbaki

习题 8, § 3

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代数, I, 131

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

With the same hypotheses as in 习题 7, let x⊤y=xy+yxx \top y = xy + yx;那么律 ⊤\top 相对于加法是可交换的和双重分配的，但不是一般结合律。

(a) 对于所有x∈Ex \in E，证明⊤m+nx=(⊤mx)⊤(⊤nx)\top^{m+n} x = \left( \top^m x \right) \top \left( \top^n x \right)。

(b) If we write [x,y,z]=(x⊤y)⊤z−x⊤(y⊤z)[x, y, z] = (x \top y) \top z - x \top (y \top z) (deviation from 结合性 of 律 ⊤\top), prove the identities

[x,y,z]+[z,y,x]=0 [x, y, z] + [z, y, x] = 0

[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0 [x, y, z] + [y, z, x] + [z, x, y] = 0
[x⊤y,u,z]=[u,[(x⊤y),z)]] [x \top y, u, z] = [u, [(x \top y), z)]]
(记号 [x,y][x, y] meaning the same as in 习题 7)
[x⊤y,u,z]+[y⊤z,u,x]+[z⊤x,u,y]=0. [x \top y, u, z] + [y \top z, u, x] + [z \top x, u, y] = 0.

解答

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