习题 19, § 4

(a) 令 G 为群，使得与 G 不同的 G 的每个正常子群都包含在与 G 不同的 G 的直因子中。证明 G 是简单子群族的受限制和。 （令 K 为由 G 的所有简单子群的并生成的 G 的子群。假设 $K \neq G$；如果 $x \in G - K$，则考虑 G 的正常子群 M，它是那些包含 K 中最大的而不是包含 x。如果 $G = M' \times S$，其中 $M'$ 包含于 M 和 $S \neq \{e\}$，表明 $x \notin M'$，因此 $M' = M$；另一方面，如果 N 是 S 的正规子群，表明 $M \times N = G$ 和结论 S 是简单的，从而结论。借助习题18。）获得逆命题（cf.习题18）。

(b) 在阶中，群G中存在一个普通简单子群的族$(N_\alpha)$，使得$G/N_\alpha$是简单的且$\bigcap_\alpha N_\alpha = \{e\}$，对于G的每个普通子群$N \neq \{e\}$，存在一个普通子群是充分必要的$N' \neq G$使得$NN' = G$。 （要看出条件是必要的，请考虑与e不同的$x \in N$和$N_\alpha$而不是包含x。要看出条件是足够的，对于G中的所有$x \neq e$，请考虑由x和正常的子群生成的正常子群N $N' \neq G$ 使得 $NN' = G$ 证明，如果 G 的法线子群 M 在 G 包含于 $N'$ 的法线子群中最大，而不是包含 x，则它在所有法线子群的集合中最大。 $\neq G$ 并推导出结论。）