习题 22, § 4

设 E 是一个乘法写的拟群 (§ 3, 习题 6)，拥有幂等 e 并且对于所有 $x, y, z, t$ 都有 $(xy)(zt) = (xz)(yt)$。令$u(x)$表示E的元素，使得$u(x)e = x$和$v(x)$元素使得$ev(x) = x$；证明合成$(x, y) \mapsto u(x)v(y)$的律是E上的交换群运算，其中$e$是单位元素，映射$x \mapsto xe$和$y \mapsto ey$是这个群结构的可置换的自同态以及$xy = u(xe)v(ey)$（首先建立恒等式$e(xy) = (ex)(ey)$、$(xy)e = (xe)(ye)$、$e(xe) = (ex)e$；然后注，关系、$x = y$、$ex = ey$和$xe = ye$是等价的）。获得逆命题。