习题 23, § 4

考虑集合 E 上的内部律，并非处处定义，以乘法方式编写，以及满足以下条件： (1) 如果定义了合成 $(xy)z, x(yz)$ 之一，则另一个也定义了，并且它们相等； (2) 如果$x, x', y$使得$xy$和$x'y$（分别是$yx$和$yx'$）被定义并且相等，则$x = x'$； (3) 对于所有$x \in E$，存在三个元素、$e_x, e'_x$和$x^{-1}$，使得$e_x x = x$、$x e'_x = x$、$x^{-1} x = e'_x$； $e_x$被称为$x$的左单位，$e'_x$被称为$x$的右单位，$x^{-1}$被称为$x$的逆（滥用语言）。 (a) 证明合成 $xx^{-1}, x^{-1}e_x, e'_x x^{-1}, e_x e'_x, e'_x e'_x$ 已定义并且$xx^{-1} = e_x, x^{-1}e_x = e'_x x^{-1} = x^{-1}, e_x e'_x = e_x, e'_x e'_x = e'_x$。 (b) E (§ 1, no. 4) 的每个幂等$e$ 对于所有 $x$ 都是左单位，从而定义了 $ex$，对于所有 $y$ 都是右单位，从而定义了 $ye$。 (c) 对于要定义的合成$xy$，$x$的右侧单位与$y$的左侧单位相同是充分必要的（要确保条件足够，请使用关系$e_y = yy^{-1}$）；如果$xy = z$，则$x^{-1}z = y, zy^{-1} = x, y^{-1}x^{-1} = z^{-1}, z^{-1}x = y^{-1}, yz^{-1} = x^{-1}$（合成出现在定义的这些关系的左侧）。 (d) 对于 E 的任意两个幂等$e, e'$，令 $G_{e, e'}$ 表示 $x \in E$ 的集合，使得 $e$ 位于单位的左侧，$e'$ 位于 $x$ 的右侧单位。证明，如果$G_{e, e}$非空，则E上的律下有群。 如果 E 还满足以下条件，则称为群胚： (4) 对于所有幂等$e, e'$，$G_{e, e'}$非空。 (e) 在群形 E 中，如果$a \in G_{e, e'}$，证明$x \mapsto xa$是$G_{e, e}$的双射映射到$G_{e, e'}, y \mapsto ay$，$G_{e', e'}$的双射映射到$G_{e, e'}$和$x \mapsto a^{-1}xa$同构群$G_{e, e}$到群$G_{e', e'}$。 (f) 证明§ 1、习题 4(b) 确定中定义的律是集合 $\Psi$ 上的群形结构，如果$\mathscr{F}$ 族中的所有集合都是等价的。