习题 24, § 4

(a) 给定任何集合 E，考虑合成的集合 $E \times E$ 律，并非处处定义，乘法书写，其中 $(x, y)$ 和 $(y', z)$ 的合成仅在 $y' = y$ 时定义，在本例中值$(x, z)$。证明 $E \times E$ 与合成的律是群胚 (习题 23)。

(b) 设$(x, y) \equiv (x', y')$(R)与上述合成兼容等价关系（即$(x, y) \equiv (x', y')$和$(y, z) \equiv (y', z')$隐含$(x, z) \equiv (x', z')$）；进一步假设关系 R 满足以下条件：对于所有$x, y, z$，存在且仅有一个$t \in E$使得$(x, y) \equiv (z, t)$并且存在一个$u \in E$使得$(x, y) \equiv (u, z)$。

证明在这些条件下，群类结构在$E \times E$上的商结构是群结构（首先证明商律到处都有定义，因为，如果$\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$是三个类，这样$\dot{x}\dot{y} = \dot{x}\dot{z}$，然后$\dot{y} = \dot{z}$；最终确定，对于所有$x \in E, y \in E, (x, x) \equiv (y, y)$）。

(c) 设 G 为群，通过将$E \times E$ 与 R 的商与上述结构求得。令$a$为E的任意元素；如果，对于所有 $x \in E, f_a(x)$ 表示类 mod。 $(a, x)$的R，证明$f_a$是E到G上的双射映射，并且关系$(x, y) \equiv (x', y')$等价于关系

对于 G 是可交换的，关系 $(x, y) \equiv (x', y')$ 蕴含 $(x, x') \equiv (y, y')$ 是充分必要的。