习题 26, § 4

令$G, G'$为两个群、$f : G \to G'$映射，使得对于$G$、$f(xy) = f(x)f(y)$或$f(xy) = f(y)f(x)$的任意两个元素$x, y$。建议证明$f$是$G$的同态转化为$G'$或$G$的同态转化为相反的群${G'}^0$（在其他字中，对于每个有序对可以证明$f(xy) = f(x)f(y)$）每有序对 $(x, y)$ $(x, y)$ 或 $f(xy) = f(y)f(x)$）。

(a) 证明集合$N = f^{-1}(e')$（$G'$的$e'$单位元素）是$G$的正常子群，并且$f$因子到$G \xrightarrow{p} G/N \xrightarrow{g} G'$，其中$g$是单射的。因此，注意力可能仅限于 $f$ 是单射的情况，这将在下文中假设。

(b) 证明如果$xy = yx$则$f(x)f(y) = f(y)f(x)$（考虑$f(x^2y)$和$f(x^2y^2)$，用多种方式表达它们）。

(c) 证明如果$f(xy) = f(x)f(y)$则$f(yx) = f(y)f(x)$。 （借助（b）表明注意力可能仅限于$xy \neq yx$的情况。）

(d) 证明$f(xyx) = f(x)f(y)f(x)$。 （根据$xy = yx$或$xy \neq yx$使用（a）或（b）；在第二种情况下，考虑$f(x^2y)$和$f(yx^2)$。）

(e) 令$A$为$x \in G$的集合，使得$f(xy) = f(x)f(y)$对于所有$y \in G$，以及$B$集合对于$x \in G$，使得$f(xy) = f(y)f(x)$对于所有$y \in G$。 证明 $A \neq G$、$B \neq G$ 和 $A \cup B = G$ 是不可能的情况。 （根据（b），$A$中将存在$x, y$，使得$f(xy) = f(x)f(y) \neq f(y)f(x)$和$B$中存在$u, v$，使得$f(uv) = f(v)f(u) \neq f(u)f(v)$。 通过依次考虑两种可能性$xu \in A, xu \in B$，由此推出矛盾；在第一种情况下考虑$f(xuv)$，在第二种情况下考虑$f(yxu)$。）

证明的其余部分由证明组成，$A \cup B \neq G$是不可能的，通过反证法论证。如果$A \cup B \neq G$，则$G$中存在$a, b, c$，使得

(f) 证明$f(c)f(a)f(b) = f(b)f(a)f(c)$。 （根据$bc \neq cb$还是$bc = cb$考虑两种情况。第一种情况，考虑$f(bac)$；第二种情况，使用（b）和（c），并考虑$f(abc), f(bca)$和$f(bac)$。） (g) 考虑$f(abac)$并得出矛盾。