习题 10, § 5

(a) 证明交错的群 $\mathfrak{A}_4$ 形式的元素 $\tau_{12}\tau_{34}, \tau_{13}\tau_{24}, \tau_{14}\tau_{23}$ 以及单位元素 $\mathfrak{A}_4$ 的可交换子群 H。证明 H 在 $\mathfrak{A}_4$ 和 $\mathfrak{S}_4$ 中是正规的，并且 $\mathfrak{A}_4/H$ 是阶 3 的循环。

(b) 证明 H 在 $\mathfrak{S}_4$ 中的集中化子等于 H。 推论当经过与 $\mathfrak{S}_4/H$ 的同构与 Aut(H) 的商时，$\mathfrak{S}_4$ 映射 $s \mapsto (h \mapsto shs^{-1})$ 入 Aut(H) 定义，且后者群与 $\mathfrak{S}_3$ 同构的。

(c) 令K 为阶 2 的H 的子群。证明K 在$\mathfrak{A}_4$ 中不是正规的。