习题 9, § 5

设 G 为有限集合 E 的置换群；对于所有$s \in G$，让$\chi(s)$表示s的固定点的集合的基数。 (a) 证明$\sum_{s \in G} \chi(s) = N t$，其中N = Card(G)，t 是E 中G 的轨道的数（以两种方式评估有序对 $(s, x) \in G \times E$ 的数，使得$s(x) = x$）。 (b) 假设对于所有 $a \in E$，a 的稳定子 $H_a$ 不会简化为 e。证明，如果 $\chi(s)$ 对于 $s \neq e$ 独立于 s 并且等于整数 k，则

（注那张卡片（E）$\leq Nk$。）

在$k = 2$的特殊情况下，找到群$H_a$可能的阶；表明，如果轨道除非 N 中的两个轨道除非 N 中的两个元素 $H_a$ 不能的$t = 3$、阶为$\geq 3$，则值 12、24 或 60 之一。

(c) 假设G对E进行传递运算，并令H表示E的元素的稳定子；表明$\sum_{s \in G} \chi(s)^2$等于N \cdot t_H，其中$t_H$是E中H的轨道的数。（对于每个$(s, u)$，写$\chi(s, u) = \chi(s)$。以两种方式评估和$\sum_{(s, u) \in R} \chi(s, u)$，其中R是集合 / 有序对 $(s, u)$，使得 $usu^{-1} \in H$。）