习题 1, § 6

令 G 为群，H 为 G 的法线子群，使得 G/H 是有限阶 n 的循环。设 x 为 G 的元素，其像 $\bar{x}$ 在 G/H 生成 G/H 中。令$\phi$为H的自同构$h \mapsto xhx^{-1}$，并令$y = x^n$；然后$y \in H$。证明 $\phi(y) = y$ 和 $\phi^n$ 是由 y 定义的 H 的内自同构。

令$\tau$为由$(m, h) \mapsto \phi^m(h)$定义的H上$\mathbf{Z}$的运算，并令$E = H \times_{\tau} \mathbf{Z}$为相应的半直接乘积。证明 E 生成的元素 $(y^{-1}, n)$ 是 E 的中心子群 C: 并且商 $E/C_y$ 与 G 同构的。