习题 15, § 6

令 G 为 G 生成的 G 的群和 X 子集。 (a) 写$X_1 = X$；对于 $n \geq 2$、定义 $X_n$，通过 n 上的归纳，作为换位子 $(x, y), x \in X, y \in X_{n-1}$ 的集合。证明 $X_n = \{e\}$ 当且仅当 G 类 $\leq n$ 幂零的。 （通过归纳对n进行论证。如果$X_n = \{e\}$，则表明由$X_{n-1}$生成的G的子群H包含在G的中心中，并将归纳假设应用于G/H。） (b) 证明$C^n(G)$是由$X_n$生成的G的正规子群。推导出$C^n(G)/C^{n+1}(G)$生成群$C^n(G)/C^{n+1}(G)$中$X_n$的像。 (c) 取$G = S_m$ ($m \geq 4$) 和$X = \{s, t\}$，其中s 是转置，t 是阶 m 的周期。证明$X_2$ 不生成群 $C^2(G) = \mathfrak{A}_m$。