习题 23, § 6

设$\sigma$为群$G$中的自同构。 (a) 显示以下条件中的等价： (i) $\sigma(x) = x$ 意味着 $x = e$。 (ii) 映射 $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ 是单射的。 当满足这些条件时，$\sigma$（滥用语言）被称为*没有固定的点*。 (b) 假设$G$是有限的并且$\sigma$没有固定的点。 映射 $x \mapsto x^{-1}\sigma(x)$ 则为双射。若$H$是$G$的正常子群在$\sigma$下稳定，则证明由$\sigma$定义的$G/H$的自同构没有固定的点。 (c) 在(b)的假设下，令$p$为素数数。证明存在 $G$ 的 Sylow $p$ 子群 $P$，它在 $\sigma$ 下稳定。 （如果$P_0$是Sylow $p$子群，则存在$y \in G$使得$\sigma(P_0) = yP_0y^{-1}$；将$y^{-1}$写在形式$x^{-1}\sigma(x)$中并取$P = xP_0x^{-1}$。）证明这样的子群是唯一的并且包含 $G$的每个$p$子群在$\sigma$下稳定。 (d) 进一步假设 $\sigma$ 属于阶 2. 证明对于所有 $g \in G$ 都有 $\sigma(g) = g^{-1}$（将 $g$ 写入形式 $x^{-1}\sigma(x)$ 和 $x \in G$）。推断 $G$ 是可交换的并且是奇数阶。