习题 29, § 6

令G为偶数阶的有限群，并令H为G的Sylow 2子群。对于所有$s \in G$，令$\varepsilon(s)$为G的置换$x \mapsto sx$的签名。

(a) 设 $s \in H$。证明 $\varepsilon(s) = -1$ 当且仅当 s 生成 H。

(b) 证明 $\varepsilon$ 是满射当且仅当 H 是循环的。

(c) 假设 H 是循环的。证明存在一个且仅有一个 G 的正规子群 D，使得 G 是 H 和 D 的半直接乘积。（通过归纳对 H 的阶进行论证。）证明 G 中 H 的归一化器 N 是 H 和 $N \cap D$ 的直接乘积。

(d) 证明非交换简单群的阶要么是奇数†，要么能被 4 整除。