习题 31, § 6

设 G 为有限群，S 为 G 的 Sylow $p$ 子群。 令$r, t$为整数$\geqslant 0$，使得$\operatorname{Card}(S) = p^{r+t}$。 设E为阶$p^t$G子群集合。 (a) 假设S是循环的。 证明$\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p^{r+1}}$。 （令S对E进行共轭运算，并使用习题30。）推出，如果阶$p^t$的S的子群在G中不是正规子群，则G中至少存在$1 + p^{r+1}$Sylow$p$子群。 (b) 即使 S 不是循环，也证明 $\operatorname{Card}(E) \equiv 1 \pmod{p}$。 （令 G 对 G 的子集的集合 F 与 $p^t$ 元素进行平移运算。 证明 E 的元素给出与 $(G:S)p^r$ 元素不同的轨道，并且所有其他轨道的元素的数可被 $p^{r+1}$整除。 适用习题30。）