Bourbaki

习题 35, § 6

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代数, I, 156

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 G 为群，使得导出群 D = D(G) 包含在 G 的中心 C 中。

(a) 证明映射 (x,y)↦(x,y)(x, y) \mapsto (x, y) 诱导映射

ϕ:(G/C)×(G/C)→D \phi : (G/C) \times (G/C) \to D
这样，将这些群相加：
ϕ(α+β,γ)=ϕ(α,γ)+ϕ(β,γ)ϕ(α,β)=−ϕ(β,α)ϕ(α,β+γ)=ϕ(α,β)+ϕ(α,γ)ϕ(α,α)=0 \begin{align*} \phi(\alpha + \beta, \gamma) &= \phi(\alpha, \gamma) + \phi(\beta, \gamma) & \phi(\alpha, \beta) &= -\phi(\beta, \alpha) \\ \phi(\alpha, \beta + \gamma) &= \phi(\alpha, \beta) + \phi(\alpha, \gamma) & \phi(\alpha, \alpha) &= 0 \end{align*}
对于所有α,β,γ∈G/C\alpha, \beta, \gamma \in G/C。

(b) 表明，对于每整数 n，

(yx)n=ynxn(x,y)n(n−1)/2 (yx)^n = y^n x^n (x, y)^{n(n-1)/2}
x,y∈Gx, y \in G。推断如果 n 是奇数且 dn=1d^n = 1 对于所有 d∈Dd \in D，则映射 x↦xnx \mapsto x^n 诱导同态 θ:G/D→C\theta : G/D \to C。

解答

尚未写出解答。

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引用了

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