习题 36, § 6

设 p 为素数数，G 为阶 $p^3$ 的不可交换群。

(a) 证明，对于前面的习题的记号，C = D 并且 G/D 同构于阶 p 的两个群的乘积。

(b) 假设 p 是奇数，并且前面的习题的同态 $\theta$ 不为零。证明 G 是阶 p 的群通过阶 $p^2$ 的循环群的半直接乘积。证明存在元素 x, y 生成的 G 使得

G 的特征为同构是由这个性质 （并且事实上它是阶 $p^3$），并且这样的群 G 存在。

(c) 对于$p = 2$，考虑与(b)相同的问题，用假设代替假设$\theta \neq 0$，G包含是阶的非中心元素2。证明这样的群与二面体群同构$\mathbf{D}_4$ (cf. 习题 4) 以及 $\mathfrak{S}_4$ 的 Sylow 2 子群。

(d) 假设$p$是奇数，并且前面的习题的同态$\theta$是零。证明有元素 $x, y, z$ 生成的 $G$ 使得

$G$的特征是这个性质，并且这样的群存在。 表明$G$同构于形式矩阵乘法群

$$\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

域中的系数 $a, b, c$ $p$ 元素。

(e) 假设$p = 2$且$G$的非中心元素不属于阶2（因此它们都是阶4）。证明 $G$ 由元素 $x, y$ 生成，使得

$G$的特征是性质，并且与四元数群（cf.习题4）同构的。

(f) 是矩阵中的群

其中 $a, b, c$ 与 2 元素、型 (c) 或型 (e) 穿过域？