习题 38, § 6

设G为阶$n = p^a m$的有限群，其中$p$是素数数不能整除$m$，并令X为G的Sylow$p$子群的集合。令$P \in X$，令N为P 和 $r = \mathrm{Card}(X)$ 的归一化器。

(a) 证明$r = (G:N)$。推导出$m$的正除子的$r$属于到集合R，与1$(\bmod\ p)$全等。特别是，如果 R 是 $\{1\}$，则 P 在 G 中是正规的。

(b) 如果$a = 1$，则表明阶$p$G元素数为$r(p - 1)$。若进一步$N = P$，则表明阶与$p$不同的G的元素在数至$m$相等；如果进一步$m$是素数数$q$的幂，则推导出G包含的Sylow$q$子群Q，阶的G的所有元素与$p$不同，因此在G中是正规的。

(c) 令 H 为阶 210 的群。证明 H 包含是阶 105 的正常子群 G (cf. 习题 29)。设 $p = 3$（分别为 5、7）。证明，如果 G 没有正规 Sylow $p$ 子群，群 G 包含至少有 14 (resp. 84, 90) 元素 of 阶 $p$。 结论 H 和 G 有性质 (ST)（cf. 前面的习题）。

(d) 证明阶 $n \leq 100$ 中的每个群都有性质 (ST)，除非 $n = 24, 36, 48, 60, 72, 96$（与 (c) 中的方法相同）。

(e) 证明阶 24 中的群 $\mathfrak{S}_4$ 没有性质 (ST)。 构造类似于例 $n = 48, 60, 72, 96$。 （对于$n = 36$，请参阅以下习题。）