习题 7, § 6

设G和A是两个群，A是可交换的。令$\tau$为G的同态转化为A的自同构群Aut(A)；如果$g \in G, a \in A$，我们写$^g a = \tau(g)(a)$。 A 将 G 与 A 交叉同态 是任意映射 $\phi : G \to A$，使得

群附加书写。 G 的同态与加法下的形式群交叉，用$Z(G, A)$表示。

(a) 如果$a \in A$，则映射$g \mapsto ^g a - a$表示为$\theta_a$。证明 $a \mapsto \theta_a$ 是 A 到 $Z(G, A)$ 的同态 $\theta$。 $\theta$核是元素由……组成子群在G下不变量。$\theta$像用$B(G, A)$表示。

(b) 设$X = A \times_{\tau} G$为A对G的半直接乘积。如果$\phi$是G到A的映射，则证明$g \mapsto (\phi(g), g)$是X的*截面*当且仅当$\phi$属于为$Z(G, A)$。为了使A的截面相应的到$\phi_1, \phi_2 \in Z(G, A)$成为共轭乘元素，$\phi_1 \equiv \phi_2 \mod B(G, A)$是充分必要的。

(c) 设$F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$为$G$除群$F$的扩张，其中中心等于$A$。假设，如果 $y \in E$ 和 $x = p(y)$，那么

对于所有$f \in A$。如果$\phi \in Z(G, A)$，则令$u_\phi$为$E$到$E$的映射，由公式$u_\phi(y) = i(\phi(p(y))) . y$给出。证明$\phi \mapsto u_\phi$是$Z(G, A)$的同构到扩张$E$的自同构群$\mathrm{Aut}(E)$。这是自同构$\mathrm{Int}_E(x)$的同构映射$B(G, A)$到群，其中$x$贯穿$A$。