习题 8, § 6

对于上述习题中的记号，$C(G, A)$用于将$G$的映射中的群表示为$A$。 $G$ 在 $C(G, A)$ 运行公式

如果$\sigma$表示$G$到$\mathrm{Aut}(C(G, A))$的相应的同态，则半直接乘积$C(G, A) \times_\sigma G$表示为$E_0$。

(a) 设$\varepsilon : A \to C(G, A)$为映射，它与每个$a \in A$关联等于$a$的常数映射。证明$\varepsilon$是单同态，与$G$的作用兼容。

(b) 设$A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G$为$G$除$A$的扩张，使得$i(ga) = xi(a)x^{-1}$如果$a \in A, x \in E$和$g = p(x)$。令$\rho$为映射$G \to E$，使得$p \circ \rho = \mathrm{Id}_G$。对于所有 $x \in E$，令 $\phi_x$ 为 $G$ 的映射到 $A$，使得

表明 推论映射 $\Phi : E \to E_0$ 定义为 是同态，使得以下图表可交换：

(c) $A$ 上的 $G$ 平均值为同态

满足以下两个条件：

令 $m$ 为 A 上的 G 均值。证明，如果 $\phi$ 是同态和 $a = m(\phi)$ 的交叉，则 $\phi = \theta_{-a}$ (cf. 习题 7)。特别是，

证明映射$(\phi, g) \mapsto (m(\phi), g)$是$E_0$到$A \times_{\tau} G$的同态。推导出 (b) 中由满足条件组成的 G 的每个扩张 E 与 $A \times_{\tau} G$ 同构的（使用合成 $E \xrightarrow{\Phi} E_0 \to A \times_{\tau} G$），因此承认截面。证明两个这样的截面通过由 A 的元素定义的 E 的内自同构相互转换（使用习题 7 和 $Z(G, A) = B(G, A)$ 的事实）。

(d) 假设 G 是有限的阶 n 并且映射 $\alpha \mapsto n\alpha$ 是 A 的自同构。对于所有 $\phi \in C(G, A)$，令 $m(\phi)$ 表示 A 的唯一元素，使得

证明 $m$ 是 A 上的 G 均值。

当 A 是 n 的阶质数的有限时，这尤其适用。