习题 15, § 7

设$G$为群，表示为$(\mathbf{t}, \mathbf{r})$，其中$\mathbf{t} = (t_i)_{i \in I}$和$\mathbf{r} = (r_j)_{j \in J}$；让 $F((T_i)_{i \in I})$ 表示自由的群 $F(I)$ 和 $\mathbf{T} = (T_i)$。另一方面，令$\mathbf{x} = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$为$G$的生成的族；写

$\mathbf{x}$相关者的$\mathbf{X} = (X_\alpha)$和$R_\mathbf{x}$集合；这是正常的子群 $F(A)$。对于所有$i \in I$，令$\phi_i(\mathbf{X})$为$F(A)$的元素，使得$t_i = \phi_i(\mathbf{x})$在$G$中；对于所有$\alpha \in A$，令$\psi_\alpha(\mathbf{T})$为$F(I)$的元素，使得$x_\alpha = \psi_\alpha(\mathbf{t})$在$G$中。证明$R_\mathbf{x}$是由元素$X_\alpha^{-1} \psi_\alpha(\phi_i(\mathbf{X}))_{i \in I}$、$\alpha \in A$和$r_j(\phi_i(\mathbf{X}))_{i \in I} j \in J$生成的$F(A)$的正常子群。 （如果$R'_\mathbf{x}$表示由所讨论的元素生成的$F(A)$的正常子群，则$R'_\mathbf{x} \subset R_\mathbf{x}$；另一方面，证明由$\phi_i$定义的同态$F(I) \to F(A)$给出，当经过为商时， 同态 $G \to F(A)/R'_\mathbf{x}$ 典范同态 $F(A)/R'_\mathbf{x} \to F(A)/R_\mathbf{x} = G.$ 的倒数）