习题 27, § 7

令 $G = *_A G_i$ 为群 $(G_i)_{i \in I}$ 的和，由公共的子群 A 合并。对于所有$i \in I$、选择子集 $P_i$ $G_i$ 满足条件 (A) no. 3。 (a) 令 $x \in G$ 且$(a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ 为 x 的约分解；然后

证明，如果$i_1 \neq i_n$，$x$的阶是无限的。证明，如果$i_1 = i_n$，$x$ 是共轭到元素，其中分解是长度 $\leq n - 1$。

(b) 推论有限阶的$G$中的每一个元素是$G_i$之一的共轭到元素。特别地，如果$G_i$除了$e$之外没有有限阶的元素，则$G$也是如此。