习题 30, § 7

设$A$和$B$是两个群和$G = A * B$它们的自由乘积。

(a) 令 $Z$ 为不同于$A$ 的$A \setminus G / A$ 中的元素。表明$Z$包含是形式中唯一的一个元素$z$

与 $n \geq 1$、$a_i \in A - \{e\}$、$b_i \in B - \{e\}$。证明$Z$的每个元素都可以用$a, a' \in A$唯一地写成形式$aza'$。

(b)设$x \in G - A$。令$f_x$为$A * A$的同态进入$G$，其中限制与$A * A$的第一个（或第二个）因子是恒等式（或映射$a \mapsto xax^{-1}$）。证明 $f_x$ 是单射的。 （如上将形式 $aza'$ 写成 $x$，然后将约化写成$x = z$；在 $G$ 中使用减少的分解的唯一性。）

特别是，$A \cap xAx^{-1} = \{e\}$和$A$在$G$中的归一化器是$A$。

(c) 令 T 为元素或 $A \setminus G / B$。证明 T 包含形式中唯一一个元素 t

与 $n \geq 1$、$a_i \in A - \{e\}$、$b_i \in B - \{e\}$。证明 T 的每个元素都可以用 $a \in A, b \in B$ 唯一地写成形式 $atb$。

(d) 令$x \in G$且令$h_x$为G的唯一内同态，使得$h_x(a) = a$若$a \in A$且$h_x(b) = x b x^{-1}$若$b \in B$。证明 $h_x$ 是单射的。 （与（b）中的方法相同，使用（c）中的分解$x = atb$。）特别是$A \cap x B x^{-1} = \{e\}$。

给出例，其中 $h_x$ 不是满射。