习题 31, § 7

令G为群的家庭$(G_i)_{i \in I}$的自由乘积。令S为G的子群的集合，其为S的元素的$G_i$和$\Theta$并之一的共轭。

(a) 令$H, H' \in S$，与$H \neq H'$，并令$x \in H - \{e\}$，$x' \in H' - \{e\}$。证明$x x' \in G - \Theta$。 （约化对应于H为$G_i$之一的情况；将$H'$写入形式$y G_j y^{-1}$，并按前述习题进行。）

(b) 设C为$\Theta$中包含的G的子群。证明存在$H \in S$使得$C \subset H$。

(c) 令C为G的子群，其所有元素都是有限的阶。证明C包含在$\Theta$中（cf.习题27）；推断C包含在$G_i$之一的共轭中。