习题 36, § 7

令$(G_1, \ldots, G_n)$和$(A_1, \ldots, A_{n-1})$为群中的两个序列；对于每个$i$，令$\phi_i : A_i \to G_i$和$\psi_i : A_i \to G_{i+1}$为两个单同态；通过这些同态$A_i$既可以与$G_i$的子群识别，也可以与$G_{i+1}$的子群识别。

(a) 设 $H_1 = G_1, H_2 = H_1 *_{A_1} G_2, \ldots, H_n = H_{n-1} *_{A_{n-1}} G_n$。 群$H_n$称为群$(G_i)$与子群$(A_i)$合并而成的和；用$G_1 *_{A_1} G_2 *_{A_2} \cdots *_{A_{n-1}} G_n$表示。如果$T$是$H_n$的同态到$T$和同态$t_i : G_i \to T$的族(t_1,\ldots,t_n)之间的任意群、定义双射，使得$t_i \circ \phi_i = t_{i+1} \circ \psi_i$ 换$1 \leq i \leq n - 1$。

(b) 每个$G_i$都用$H_n$的相应的子群来标识。显示$G_i \cap G_{i+1} = A_i$ 和$G_i \cap G_{i+2} = A_i \cap A_{i+1}$（后者交取自$G_{i+1}$）。