习题 39, § 7

*令$G$为$G$包含$e$的对称有限子集的有限生成的群和$\mathscr{F}$集合，其中生成$G$。

(a) 如果$X \in \mathscr{F}$和$n \in \mathbf{N}$，令$d_n(X)$表示形式$x_1 \ldots x_n$的$G$和$x_i \in X$中元素的数。如果$X, Y \in \mathscr{F}$，则表明存在整数$a \geq 1$使得

推出$\limsup_{n \to \infty} \frac{\log(d_n(X))}{\log(n)}$不依赖于$\mathscr{F}$中$X$的选择；这个极限（有限或无限）由$e(G)$表示。

(b) 如果 $X \in \mathscr{F}$ 和 $G$ 是无限的，则证明 $d_n(X) < d_{n+1}(X)$ 对于所有 $n$。推断 $e(G)$ 是 $\geq 1$。

(c) 令 $H$ 为有限生成的群。如果 $H$ 同构于 $G$ 的子群（分别为商群），则证明 $e(H) \leq e(G)$。若$E$乘以$H$为$G$扩张，则表明$e(E) \geq e(H) + e(G)$，当$E = G \times H$时为等式。

(d) 证明$e(\mathbf{Z}^n) = n$。

(e) 设 $X \in \mathscr{F}$。考虑以下性质： (i) 对于所有足够大 $n$，存在实数 $a > 1$，使得$d_n(X) \geq a^n$。 证明，如果性质 (i) 对于 $\mathscr{F}$ 中的一个元素成立，那么它对于 $\mathscr{F}$ 中的每一个元素都成立。 $G$ 则被称为*指数型*；这意味着$e(G) = +\infty$。

(f) 设$G_1$和$G_2$是两个群包含，相同的子群$A$，并设$H = G_1 *_A G_2$相应的粘合和。假设$G_1$和$G_2$是有限生成的（因此$H$也是有限生成的），$G_i \neq A$对于$i = 1, 2$。证明如果指标 $(G_1 : A), (G_2 : A)$ 至少其中一个是$\geq 3$，则$H$ 是指数型。

(g) 证明秩 $\geq 2$ 的自由群具有指数型。*