习题 15, § 8

一个 ringoid 是集合 $E$ 和两个律或合成： (a) 一个结合律乘法 $xy$； (b) 律附加书写，*并非处处定义* (§ 1, no. 1) 和满足以下条件：

(1) 它是*可交换的*（在其他字中，如果定义了$x + y$，则定义了$y + x$和$x + y = y + x$；$x$和$y$则被称为*可加*）；

(2) 如果$x$和$y$是可加的，则为了使$x + y$和$z$可加，只要一方面$x$和$y$可加，另一方面$y$和$z$可加；那么 $x$ 和 $y + z$ 是可加的并且 $(x + y) + z = x + (y + z)$；

(3) 存在单位元素 0；

(4) 如果一方面$x$和$z$，另一方面$y$和$z$，可与$x + z = y + z$相加，则$x = y$；

(5) 如果 $x, y$ 可相加，则 $xz$ 和 $yz$ 也可相加（分别为 $zx$ 和 $zy$），并且

（分别为$z(x + y) = zx + zy$）对于所有$z \in E$。

每个环都是一个环形。

(a) 检查定义以及§ 8和上述习题扩展如何转化为环形曲线（环形曲线$E$的左理想是$E$的子集$a$，在加法下是稳定的，使得$E.a \subset a$）。

(b) 设 $G$ 为带有运算符的群，并且$f$ 和$g$ $G$ 的两个自同态。为了使映射$x \mapsto f(x)g(x)$成为$G$中的自同态，子群$f(G)$中的每个元素可以与$g(G)$中的每个元素进行置换是充分必要的；如果这个自同态然后由$f + g$表示并且$fg$是复合自同态$x \mapsto f(g(x))$，则表明$G$的自同态的集合$E$与这些律合成是一个带有单位元的 ringoid；为了使$E$成为环，$G$是可交换的充分必要。

为了使元素$f \in E$可与$E$的所有元素相加，$f(G)$包含在$G$的中心中是必要且充分的；其中集合 $N$ 自同态是一个*伪环*，称为环 $E$ 的 核。

如果 $G$ 的自同态 $f$ 可以与 $G$ 的所有内自同构置换，则称为“正常”；对于$G$的每个正常稳定子群$H$，$f(G)$是$G$的正常稳定子群。证明$G$形式的正常自同态的集合$D$是$E$的子环，并且核$N$是$D$的双面理想。†