习题 9, § 9

令 $A$ 为环，使得 $x^3 = x$ 对于所有 $x \in A$。建议证明$A$是可交换的。

(a) 证明$6A = \{0\}$、$2A$和$3A$是双面理想，使得$2A + 3A = A$和$2A \cap 3A = \{0\}$。推断可以假设 $2A = \{0\}$ 或 $3A = \{0\}$。

(b) 如果 $2A = \{0\}$、计算 $(1 + x)^3$，则通过习题 8 推导出所有 $x \in A$ 和结论的 $x^2 = x$。

(c) 如果$3A = \{0\}$、计算、$(x + y)^3$和$(x - y)^3$，则证明$x^2y + xyx + yx^2 = 0$和左乘以$x$；推导出$xy - yx = 0$。

(d) 设$A$为环，使得$3A = \{0\}$和$x^3 = x$对于所有$x \in A$； 定义集合 $I$ 和 $A$ 的单同态转换为 $(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})^I$（与习题 8 中的方法相同）。