习题 18, § 1

设A为环，其中存在整数$p$，其中性质：对于A的$p$元素的每个族$(a_i)_{1 \leq i \leq p}$，存在A的元素的族$(c_i)_{1 \leq i \leq p}$，其中至少有一个不是A的权利除子 0，使得 $\sum_{i=1}^p c_i a_i = 0$。

(a) Show, by induction on $n$, that for every family $(x_i)$ of $p^n$ elements of $A_s^n$, there exists a family $(c_j)$ of $p^n$ elements of $A$, one at least of which is not a right divisor of 0, such that $\sum_j c_j x_j = 0$.

(b) 从 (a) 和习题 16 推出，对于所有 $n > 0$、A-模 $A_s^n$ 包含 $n + 1$ 元素没有空闲的系统。