习题 2, § 1

设E为左A-模；对于A的每个左理想$a$，让$aE$表示$ax$的和，其中$x \in E$，因此是E的子模。

(a) 证明对于 A-模的每个族 $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$，$a \cdot \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda$ 都可以被规范地识别为 $\bigoplus_{\lambda \in L} aE_\lambda$。

(b) 如果 $a$ 是 A 的有限生成的左理想，则表明对于 A-模的每个族 $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$，$a \cdot \prod_{\lambda \in L} E_\lambda$ 都与 $\prod_{\lambda \in L} aE_\lambda$ 规范地一致。给出例，其中$a$不是有限生成的，并且上面的性质不成立（采用A可交换且所有$E_\lambda$等于A）。

(c) 令 K 为 K、$m = AX$ 和 $n = AY$ 上两个不定式多项式的交换域、A 环 $K[X, Y]$。如果 E 是 $Xe_1 - Ye_2$ 生成的 $A^2$ A-模除以 $A^2$ 子模的商（其中 $(e_1, e_2)$ 是 $A^2$ 的典范基），则证明 $(m \cap n)E \neq (mE) \cap (nE)$