习题 5, § 1

令E，$F_1, F_2$为三个A-模，$f_1 : E \to F_1, f_1 : E \to F_2$为两个线性映射。 $F_1$和$F_2$相对于$f_1$和$f_2$的*粘合和*是$F_1 \times F_2$的商模乘以E在映射$z \mapsto (f_1(z), -f_2(z))$下的子模像；用$F_1 \oplus_E F_2$表示。

(a) 对于A-线性映射$u_1 : F_1 \to G, u_2 : F_2 \to G$的每一个有序对使得$u_1 \circ f_1 = u_2 \circ f_2$，证明存在且仅有一个A-线性映射$u : F_1 \oplus_E F_2 \to G$使得$u \circ j_1 = u_1, u \circ j_2 = u_2$，其中$j_1$和$j_2$分别表示合成典范映射

与典范嵌入 $F_1 \to F_1 \times F_2, F_2 \to F_1 \times F_2$。

(b) 相对于这些映射，令$E', F'_1, F'_2$为三个A-模、$f'_1 : E' \to F'_1, f'_2 : E' \to F'_2$为两个A-线性映射以及$F'_1 \oplus_{E'} F'_2$粘合和。对于A-线性映射$v_1 : F'_1 \to F_1, v_2 : F'_2 \to F_2, w : E' \to E$的每个系统使得$v_1 \circ f'_1 = f_1 \circ w, v_2 \circ f'_2 = f_2 \circ w$，让$v$是$F'_1 \oplus_{E'} F'_2$的A-线性映射到$F_1 \oplus_E F_2$相应的到两个线性映射$j_1 \circ v_1$并且$j_2 \circ v_2$。证明如果 $v_1$ 和 $v_2$ 是满射，则 $v$ 也是满射；给出例，其中 $v_1$ 和 $v_2$ 是单射的，但 $v$ 不是单射的。证明如果 $w$ 是满射且 $v_1$ 和 $v_2$ 是单射，则 $v$ 是单射。