习题 11, § 10

令$E$为右向量空间超过域$K$，维数$\geq 1$，以及$H$超平面超过$E$。 $E$ 的每个自同态 $u$ 使 $H$ 的元素保持不变，在经过上给出商，一维商空间 $E/H$, 自同态的自同态为因此形式$\dot{x} \mapsto \dot{x} \mu(\dot{x})$，其中$\mu(\dot{x}) \in K$使得$\mu(\dot{x}\lambda) = \lambda^{-1} \mu(\dot{x}) \lambda$对应$\lambda \in K^*$。 $E$ 的自同构离开 $H$ 的不变量元素称为超平面 $H$ 的平移，如果 $E/H$ 的相应的自同构是恒等式，并且是超平面的膨胀$H$ 否则；当$u$是膨胀时，$\dot{x} \in E/H$的元素$\mu(\dot{x})$的集合，即乘法群$K^*$中共轭元素的类，称为类扩张$u$。

(a) 证明对于每一种扩张，都存在一条且仅有一条 H 的补充线，在扩张下保持不变。

(b) 设 E 上的 $\phi$ 为线性形式，使得 $H = \phi^{-1}(0)$；证明对于超平面 H 的每一次平移 $u$，都存在一个唯一的向量 $a \in H$，使得对于所有 $x \in E$ 都有 $u(x) = x + a\phi(x)$。设$\Gamma(E, H)$为自同构$\mathbf{GL}(E)$由……组成子群，使H的每个元素保持不变；表明超平面 H 形式 $\Gamma(E, H)$ 的正规交换律子群 $\Theta(E, H)$ 同构于加法群 H； 商群 $\Gamma(E, H)/\Theta(E, H)$ 与乘法群 $K^*$ 同构。为了使$\Gamma(E, H)$是可交换的，满足以下两个条件之一是必要且充分的： ($\alpha$) K是域且有两个元素； ($\beta$) K 是可交换的且$\dim E = 1$。

(c) 假设 E 是有限维的；表明对于每一个横断面$u$，都存在E的基，使得$u$的矩阵相对于此基的所有对角线元素等于1，并且至多还有一个元素$\neq 0$。

(d) 证明群$\mathbf{GL}(E)$中群$\Theta(E, H)$的扶正器(I, § 5, no. 3)是$\Theta(E, H)$的合成$Z(E)\Theta(E, H) = \Theta(E, H)Z(E)$和中心$Z(E)$ $\mathbf{GL}(E)$（cf.§ 1，习题26）。该扶正器的唯一自同构属于并且使E的至少一个元素$\neq 0$保持不变是群$\Theta(E, H)$的横断面。如果 K 至少有 3 个元素，则$\mathbf{GL}(E)$ 中$\Gamma(E, H)$ 的中心化器等于$Z(E)$。

(e) 证明$\mathbf{GL}(E)$中$\Theta(E, H)$和$\Gamma(E, H)$的归一化器(I, § 5, no. 3)都等于自同构的子群由……组成，使得H不变。