习题 16, § 10

(a) 令 $U$ 为阶 $n$ 的平方矩阵在域 $\mathbf{Q}$ 上，其所有非对角线元素等于同一个有理数数 $r > 0$，且其对角线$(d_1, \ldots, d_n)$ 对于所有 $i$ 和 $d_i > r$ 来说，$d_i \geq r$ 是这样的，除了 $i$ 中的一个值之外。证明$U$是可逆的（如果$x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$是方程$U.x = 0$的解，证明$x_i$都具有相同的符号并推断它们都是零）。

(b) 设 $E$ 为有限集合，其中 $m$ 元素表示为 $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) 和 $(A_j)_{1 \leq j \leq n}$ $E$ 的 $n$ 子集族，与一族不同另一个；假设$\operatorname{Card}(A_i \cap A_j) = r \geq 1$对于$\{1, n\}$的不同元素的每个有序对$(i, j)$。表明必然$n \leq m$。 （令 $V = (c_{ij})$ 为型 $(m, n)$ 的矩阵，使得 $a_i \in A_j, c_{ij} = 0$ 时为 $c_{ij} = 1$。将 (a) 应用于阶 $n$ 的矩阵 $tV.V$。）