习题 17, § 10

令$K$为域（可交换或其他），$E$是$K$上的$n$维右向量空间和$E$的$u$自同态。

(a) 证明如果$n > 1$和$u$不是中心位似，则存在$E$的基，使得$u$的矩阵相对于此基是形式$(\alpha_{ij})$， $\alpha_{ij} = 0$代表$j > i + 1$和$\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 1$（由归纳对$n$争论）。

(b) 证明如果$n > 2$，则存在$E$的基，使得$u$的矩阵对于这个基来说是形式$(\alpha_{ij})$，对于$j > i + 1$来说$\alpha_{ij} = 0$并且$\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i, i+1} = 0$。 （使用（a）对$n$进行归纳论证，注意到对于$u$或$u + \gamma 1_E$证明命题是相同的，其中$\gamma$属于到$K$的中心，并分别研究以下情况$u$ 是秩 1 或 2。）

(c) 令 $A = (\alpha_{ij})$ 为矩阵，具有 (b) 中描述的属性。还令 $S$ 为阶 $n$ ($\varepsilon_{ij}$) 的矩阵，使得 $\varepsilon_{ij} = 0$ 除外，$i = j + 1$ 时除外，在这种情况下为 $\varepsilon_{j+1,j} = 1$。证明存在阶 $n$ 的矩阵 $B = (\beta_{ij})$，使得 $A = \lambda E_{nn} + (BS - SB)$ 和 $\lambda \in \mathbf{K}$。 （取$B$，使得$\beta_{i1} = 0$代表$1 \leq i \leq n$，$\beta_{ij} = 0$代表$j > i + 2$。）

(d) 假设 $\mathbf{K}$ 是可交换的。从(c)推导出$E$的每个自同态$u$使得$\operatorname{Tr}(u) = 0$可以写成$vw - wv$，其中$v$和$w$是$E$的自同态。