习题 5, § 10

令$\mathbf{A}$为环，$\mathbf{L}, \mathbf{M}, \mathbf{N}$任意三个索引$\mathbf{A}^{\mathbf{L} \times \mathbf{M}}$的集合$U = (a_{\lambda \mu})$矩阵和$\mathbf{A}^{\mathbf{M} \times \mathbf{N}}$的$V = (b_{\mu \nu})$矩阵；如果对于每一个有序对$(\lambda, \nu) \in \mathbf{L} \times \mathbf{N}$，族$(a_{\lambda \mu} b_{\mu \nu})$($\mu \in \mathbf{M}$)有有限支撑，定义元素$c_{\lambda \nu} = \sum_{\mu} a_{\lambda \mu} b_{\mu \nu}$，也可以说矩阵$(c_{\lambda \nu})$是乘积$UV$ $U$ $V$。当定义了乘积、$UV'$和$UV''$时，$U(V' + V'')$和$UV' + UV'' = U(V' + V'')$也定义了； 逆命题是真的吗？给出三个无限矩阵、$U, V, W$的例，使得乘积、$UV, VW, U(VW)$和$(UV)W$被定义，但$U(VW) \neq (UV)W$（将$U$视为矩阵，其中一行所有元素都等于1， $W$其转置和$V$矩阵所有元素都是0、1或$-1$，并且每行和每个列中只有有限的数元素$\neq 0$。 确定乘以$V$的归纳元素，使得$UV = 0$但$VW$有一个元素$\neq 0$。）