习题 1, § 11

设 $\Delta$ 为可交换幺半群，可加写，其单位元素用 0 表示。设 $\mathbf{Z}^{(\Delta)}$ 为 $\Delta$ 与 $\mathbf{Z}$ (III, § 2, no. 6) 的代数，即交换环，它是一个自由 $\mathbf{Z}$ 模， 基$(X^\sigma)_{\sigma \in \Delta}$和乘法$(aX^\sigma)(bX^\tau) = abX^{\sigma + \tau}$。对于每个$\mathbf{Z}$-模块，我们写$E^{(\Delta)} = E \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$，$E^{(\Delta)}$的每个元素因此被唯一地写在形式$\sum_{\sigma \in \Delta} z_\sigma \otimes X^\sigma$，$z_\sigma \in E$，$(z_\sigma)$家族有有限支撑。对于每个$\mathbf{Z}$-模块同态$f : E \to E'$，令$f^{(\Delta)}$表示$\mathbf{Z}^{(\Delta)}$-模块同态$f \otimes 1 : E^{(\Delta)} \to {E'}^{(\Delta)}$。类似地，如果$\Delta'$是另一个加性幺半群，其单位元素用0表示，并且如果$\alpha : \Delta \to \Delta'$是幺半群同态，则$\alpha(E)$表示同态$E^{(\Delta)} \to E^{(\Delta')}$，使得$\alpha(E)(z_\sigma \otimes X^\sigma) = z_\sigma \otimes X^{\alpha(\sigma)}$。 $(E^{(\Delta)})^{(\Delta')}$ 通过与 $\sum_{\sigma' \in \Delta'} \left( \sum_{\sigma \in \Delta} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^\sigma \right) \otimes X^{\sigma'}$ 元素 $\sum_{\sigma, \sigma'} z_{\sigma, \sigma'} \otimes X^{(\sigma, \sigma')}$ 关联来识别为 $E^{(\Delta \times \Delta')}$。最后，让$\varepsilon(E)$表示同态$E^{(\Delta)} \to E$映射$\sum_\sigma z_\sigma \otimes X^\sigma$到$\sum_\sigma z_\sigma$。

(a) 令$E$为$\mathbf{Z}$模块，$(E_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$为型$\Delta$在$E$上的毕业，对于所有$\sigma \in \Delta$，令$p_\sigma$为投影算子$E \to E_\sigma$相应的至$E$的分解与$E_\sigma$的直和一样。对于所有$x \in E$，让$\phi_E(x) = \sum_{\sigma \in \Delta} p_\sigma(x) \otimes X^\sigma$。证明如此定义的同态 $\phi_E : E \to E^{(\Delta)}$ 具有以下性质：

(1)

(2) 其中 $\delta : \Delta \to \Delta \times \Delta$ 是对角线映射。

Show that a bijection of the set of graduations on $E$ of type $\Delta$ is thus defined on to the set of homomorphisms of $E$ into $E^{(\Delta)}$ satisfying conditions (1) and (2).

(b) 设$E, F$为型$\Delta$的两个分级$\mathbf{Z}$模块。为了使同态$f : E \to F$的等级为次数0，$\phi_F \circ f = f^{(\Delta)} \circ \phi_E$是充分必要的。为了对$E$中的子模$E'$进行分级，$\phi_E(E') \subset {E'}^{(\Delta)}$是必要且充分的。

(c) Let $A$ be a ring; $A^{(\Delta)} = A \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{(\Delta)}$ is given a ring structure such that $(a \otimes X^\sigma)(b \otimes X^\tau) = (ab) \otimes X^{\sigma + \tau}$. 令$(A_\sigma)_{\sigma \in \Delta}$为加法群$A$的毕业；为了使该分级与$A$和$1 \in A_0$上的环结构兼容，$\phi_A : A \to A^{(\Delta)}$为环同态是必要且充分的。 陈述并证明分级 $A$-模块的类似结果。