习题 7, § 2

(a) 如果u是A-模E的满射自同态，则u不是$\operatorname{End}_A(E)$中零的右除子。相反，如果对于 E 的每个子模 $F \neq E$ 都存在线性形式 $x^* \in E^*$，即 F 上的零和满射，$\operatorname{End}_A(E)$ 的每个元素（不是零的右除子）是满射自同态。

(b) 如果 E 是习题 6(c) 中定义的 $\mathbf{Z}$ 模，则证明 E 的每个自同态 $\neq 0$ 都是满射，尽管 E 上不存在线性形式 $\neq 0$。

(c) 证明如果 E 是自由 $\mathbf{Z}$-模 $\neq 0$，则存在 E 的非满射自同态，且 $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(E)$ 中的 0 不正确除子。