习题 8, § 2

(a) 令E为自由A-模，F，G为两个A-模，$u : E \to G$，$v : F \to G$为两个线性映射。证明如果$u(E) \subset v(F)$，则存在线性映射$w : E \to F$使得$u = v \circ w$。

(b) 给出习题 6(c)中定义的$\mathbf{Z}$模块E的两个非零自同态$u, v$的例，使得不存在E的自同态$w$对应$u = v \circ w$（尽管$u(E) = v(E) = E$）。

(c) 给出$\mathbf{Z}$-模块$\mathbf{Z}$的两个自同态$u, v$中的例，使得$-u^{-1}(0) = -v^{-1}(0) = \{0\}$，但不存在$\mathbf{Z}$的自同态$w$，其中$u = w \circ v$ （cf.§ 7，习题14）。