习题 10, § 7

令 E 为向量空间超过域 K。证明 E 的每个自同态 u 都是自同构或者可以写成 $u = v - w$，其中 v 和 w 是 E 的自同构。（观察到 u 总是可以被 $s_1 \circ u \circ s_2$ 替代，其中 $s_1$ 和$s_2$是E的两个自同构。根据$\dim(\mathrm{Ker}(u)) \leq \dim(\mathrm{Coker}(u))$还是$\dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u))$来区分两种情况；当$\mathrm{rg}(u)$有限时，则第一种情况始终成立。

可以简化为$\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Im}(u) = \{0\}$的情况；如果 也可以假设$\mathrm{Im}(u) + \mathrm{Ker}(u) = E$，然后应用习题 9 (c)。若$\dim(\mathrm{Ker}(u)) < \dim(\mathrm{Coker}(u))$，则在形式$W \oplus \mathrm{Im}(u)$的$\mathrm{Ker}(u)$的E中补充有子空间和$\dim(W) = \dim(\mathrm{Im}(u)) = \dim(E)$；在 $s_1(u(\mathrm{Im}(u))) = \mathrm{Im}(u)$ 的开头应用注并使用习题 9 (a) 和 (c)。当$\dim(\mathrm{Ker}(u)) > \dim(\mathrm{Coker}(u))$时，可以简化为$\mathrm{Ker}(u) \subset \mathrm{Im}(u)$的情况；这次取$s_1(\mathrm{Ker}(u)) = u^{-1}(\mathrm{Ker}(u))$并使用前面案例的结果和习题9。）