Bourbaki

习题 12, § 7

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代数, II, 403

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设E、F为E到F中的两个向量空间和u,vu, v两个线性映射。 (a) 证明下列不等式成立：

rg(v)≤rg(u+v)+rg(u)rg(u+v)≤inf⁡(dim⁡(E),dim⁡(F),rg(u)+rg(v)). \begin{align*} \mathrm{rg}(v) &\leq \mathrm{rg}(u + v) + \mathrm{rg}(u) \\ \mathrm{rg}(u + v) &\leq \inf(\dim(E), \dim(F), \mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v)). \end{align*}
如果 E 和 F 是有限维的，证明 rg(u+v)\mathrm{rg}(u + v) 可以取任何整数值满足不等式
∣rg(u)−rg(v)∣≤rg(u+v)≤inf⁡(dim⁡(E),dim⁡(F),rg(u)+rg(v)). |\mathrm{rg}(u) - \mathrm{rg}(v)| \leq \mathrm{rg}(u + v) \leq \inf(\dim(E), \dim(F), \mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v)).
(b) 证明
dim⁡(Ker(u+v))≤dim⁡(Ker(u)∩Ker(v))+dim⁡(Im(u)∩Im(v)). \dim(\mathrm{Ker}(u + v)) \leq \dim(\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Ker}(v)) + \dim(\mathrm{Im}(u) \cap \mathrm{Im}(v)).
(c) 证明
dim⁡(Coker(u+v))≤dim⁡(Coker(u))+rg(v). \dim(\mathrm{Coker}(u + v)) \leq \dim(\mathrm{Coker}(u)) + \mathrm{rg}(v).
（如果V是E中Ker(v)\mathrm{Ker}(v)的补充子空间，则注
u(Ker(v))⊂Im(u+v)anddim⁡(u(V))≤rg(v). u(\mathrm{Ker}(v)) \subset \mathrm{Im}(u + v) \quad \text{and} \quad \dim(u(V)) \leq \mathrm{rg}(v).
)

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