Bourbaki

习题 13, § 7

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代数, II, 403

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设E、F、G为三个向量空间，u:E→F,v:F→Gu : E \to F, v : F \to G为两个线性映射。 (a) 证明存在 E 的分解作为 Ker(u)\mathrm{Ker}(u) 的直和和两个子空间 M、N，使得 Ker(v∘u)=M⊕Ker(u)\mathrm{Ker}(v \circ u) = M \oplus \mathrm{Ker}(u) 和

Im(v∘u)=v(u(N)). \mathrm{Im}(v \circ u) = v(u(N)).
(b) dim⁡(Ker(u))≤dim⁡(Ker(v∘u))≤dim⁡(Ker(u))+dim⁡(Ker(v));\dim(\mathrm{Ker}(u)) \leq \dim(\mathrm{Ker}(v \circ u)) \leq \dim(\mathrm{Ker}(u)) + \dim(\mathrm{Ker}(v)); 如果 Ker(u)\mathrm{Ker}(u) 和 Ker(v)\mathrm{Ker}(v) 是有限维的，证明 dim⁡(Ker(v∘u))\dim(\mathrm{Ker}(v \circ u)) 可以取上述每个整数值满足不等式。 (c) 下列等式成立：
rg(u)=rg(v∘u)+dim⁡(Im(u)∩Ker(v))rg(v)=rg(v∘u)+codim⁡F(Im(u)+Ker(v)). \begin{align*} \mathrm{rg}(u) &= \mathrm{rg}(v \circ u) + \dim(\mathrm{Im}(u) \cap \mathrm{Ker}(v)) \\ \mathrm{rg}(v) &= \mathrm{rg}(v \circ u) + \operatorname{codim}_F(\mathrm{Im}(u) + \mathrm{Ker}(v)). \end{align*}
如果 F 是有限维的，证明 rg(v∘u)\mathrm{rg}(v \circ u) 可以取任意整数值满足不等式
sup⁡(0,rg(u)+rg(v)−n)≤rg(v∘u)≤inf⁡(rg(u),rg(v)). \sup(0, \mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v) - n) \leq \mathrm{rg}(v \circ u) \leq \inf(\mathrm{rg}(u), \mathrm{rg}(v)).

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