习题 15, § 7

令 E、F 为域 K 和 $u : E \to F$ 线性映射之二向量空间。

(a) 以下条件是等价的： (1) $\operatorname{Ker}(u)$是有限维的； (2) F到E中存在线性映射$v$使得$v \circ u = l_E + w$，其中$w$是有限秩的E的自同态； (3) 对于 K 上的每个向量空间 G 和每个线性映射 $f : G \to E$，关系 $\operatorname{rg}(u \circ f) < +\infty$ 意味着 $\operatorname{rg}(f) < +\infty$。

(b) 以下条件是等价的： (1) $\operatorname{Coker}(u)$ 是有限维的； (2) E 中存在 F 的线性映射 $v$，使得 $u \circ v = l_F + w$，其中 $w$ 是有限秩的 F 的自同态； (3) 对于 K 上的每个向量空间 G 和每个线性映射 $g : F \to G$，关系 $\operatorname{rg}(g \circ u) < +\infty$ 意味着 $\operatorname{rg}(g) < +\infty$。