习题 36, § 7

(a) 设$K_0$为交换域且$K = K_0(X)$域有理函数在$K_0$上的一个不定数(章IV)。 $(K, K)$双模结构在$K$上定义如下：元素$u \in K$的乘积$t.u$通过左运算符$t \in K$是有理数函数$t(X)u(X)$；右算子$t \in K$对$u$的乘积$u.t$是有理数函数$u(X)t(X^2)$；因此在 $K$ 上定义的左（或右）向量 $K$-空间结构则为 1 维（或 2 维）。推导$(K, K)$双模的例，使得这样的双模的两个向量空间结构中的维数是任意整数。

(b) 从(a) $(K, K)$-双模$E$的例推出，其两个向量空间结构具有相同的维数，并且存在$E$的子双模$F$，其两个向量空间结构没有相同的维数。*