习题 37, § 7

(a) 令 $E$ 为左向量空间（有限维或其他）且$A_i$ ($1 \leq i \leq n$) 向量子空间 of $E$。假设，对于$E$的点的每个序列$(a_i)_{1 \leq i \leq n}$，使得$a_i \in A_i$对于所有$i$，由$a_i$生成的$E$的向量子空间为维数 $\leq m$（$m$整数$\leq n$）。然后证明存在维数$h \leq m$$E$子空间$W$，子空间$A_i$包含$h + (n - m)$。 （通过归纳对$n$进行论证。首先证明（对于固定的$n$）注意力可能仅限于$m < n$和$\dim(A_i) \leq m$对于所有$i$的情况；也可以假设$A_i \neq \{0\}$对于所有$i$并且$A_i$不是维数的全部。然后在$d = \sum_{i=1}^m \dim(A_i)$上通过归纳争论（对于固定的$n$）。如果对于例$\dim(A_n) \geq 2$，则考虑$A_n$的一维子空间$B_n$ 维数 1 并将归纳假设应用于$A_1, \ldots, A_{n-1}, B_n$；结论存在数$k$使得$1 \leq k \leq m$和$E$的$k$维子空间$U$ $A_i$的包含$k$，对于例$A_1, \ldots, A_k$；替换，如果需要，$k$除以整数$k'$，使得$1 \leq k' \leq k$，也表明可以假设存在向量$b_i \in A_i$对于$1 \leq i \leq k$，使得$U$的$b_1, \ldots, b_k$形式基；然后投影到$E$中的$U$的补充子空间并使用归纳假设。）

(b) 令$K$为有限域，并令$E$为$K$上的$N$维向量空间。令$U_i$ ($1 \leq i \leq n$) 为$E$ 的向量子空间，使得对于$\{1, n\}$ 的每个子集 $H$，$U_i$ 的交使得$i \in H$ 有维数$\leq N - \mathrm{Card}(H)$。证明 $U_i$ 不能的并等于 $E$（使用 (a) 通过对偶性论证）。