习题 6, § 7

令$S$为向量$K$-空间$E$的非空有限子集，而不是包含0。假设存在整数$k \geqslant 1$以及以下性质：

(*) 对于所有 $x \in S$，$S - \{x\}$ 中有划分进入 $h$，其中子集与 $h \leqslant k$ 是自由的。

For such a partition $(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ and every sequence $(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ of integers of $\{1, h\}$ a subspace $F_{r_1 r_2 \ldots r_m}$ of $E$ is defined by induction on $m$ as follows: $F_{r_1}$ is the subspace generated by $N_{r_1}$, $F_{r_1 \ldots r_p}$ the subspace generated by the intersection of $F_{r_1 \ldots r_{p-1}}$ and $N_{r_p}$. 假设：

(**) 对于所有 $x \in S$ 以及 $S - \{x\}$ 中的每个划分 $(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ 至多 $k$ 空闲子集，至少存在一个序列 $(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ 使得

(a) 对于$x \in S$所有可能的选择，令$n$为整数$m \geqslant 1$中的最小者，并令$(N_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$和$(r_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$满足条件（*）和（**）。 证明必然性$n = 1$。 （通过假设 $x \notin F_{r_1 r_2 \ldots r_n}$ 和 $n > 1$ 进行反证法论证。 那么必然$x \in F_{r_n}$。 For simplicity write $E_p = F_{r_1 r_2 \ldots r_p}$ for $1 \leqslant p \leqslant n$ and $x = \sum_i \alpha_i y_i$ with $\alpha_i \in K$ and $y_i \in N_{r_n}$; there is at least one $y_i$ not belonging to $E_{n-1}$, denote it by $y$; then write $N = N_{r_n} - \{y\}$, $N'_i = N_i$ for $1 \leqslant i \leqslant h$ and $i \neq r_n$, $N'_{r_n} = N \cup \{x\}$, so that $(N'_i)_{1 \leqslant i \leqslant h}$ is a partition of $S - \{y\}$ consisting of free subsets. 定义$E'_0 = E$，对于$1 \leqslant p \leqslant n$，$E'_p$作为由$E'_{p-1}$和$N'_{r_p}$的交生成的子空间。 现在$y \notin E_{n-1}$；令 $q$ 至少为整数，使得 $y \notin E_q$；证明$E'_q \not\subset E_q$。 设 $s$ 是最小的整数，使得 $E'_s \not\subset E_s$；表明 $r_s = r_n$；最终从关系$y \in E_s$、$E'_{s-1} \subset E_{s-1}$和$E'_s \not\subset E_s$推导出矛盾。）

(b) 从 (a) 得出结论，根据给定的假设，存在 $S$ 的划分进入 $h$，对于整数 $h \leqslant k$，自由子集。