习题 3, § 8

令 K 为 K 的域、L 子域，并令 $K_L$ 表示域 K，视为 L 上的左向量空间； $E = \mathrm{End}_L(K_L)$ 具有典型的 (K, K)-双模结构。 The dual $(K_L)^*$ is contained in E and is a (K, L)-sub-bimodule of E. When L is contained in 中心 of K, the two 向量 L-space 结构 on E, obtained by restricting to L E 上两个向量 K 空间结构的标量域相同。

假设此后L包含在K的中心中，并且$K_L$的维数是有限的并且等于n。

(a) 证明$(K_L)^*$在K上的左向量空间结构下是一维的（$(K_L)^*$在L上的计算维数有两种方式）。

(b) 证明 E 是 K 上的 n 维左向量空间（同样方法）。

(c) 设 F 是 K 上的有限维左向量空间和 L 上的 $F_{[L]}$ 相应的向量空间。 If $u_0 \neq 0$ is 线性形式 on $K_L$, show that 映射 $x' \mapsto u_0 \circ x'$ of the dual $F^*$ of F (considered as 向量空间 over L) onto the dual $(F_{[L]})^*$ of $F_{[L]}$ is bijective (use (一))。