习题 11, § 9

令$V$是射影线$\mathbf{P}(V)$的域$K$和$a, b, c, d$四个不同点上的二维向量空间。由$\begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix}$表示的四元组$(a, b, c, d)$的*交比*为元素$\xi \in K$的集合，因此$V$中存在两个向量$u, v$（在no. 6的记号中） $a = \pi(u), b = \pi(v), c = \pi(u + v), d = \pi(u + \xi v)$。这个定义扩展立即到集合的不同点的任意四元组，并有投影线结构 (no. 11)。

(a) Show that $\begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix}$ is the set of conjugates of an element $\neq 1$ of the multiplicative group $K^*$ and conversely that, when $a, b, c$, are distinct points of $\mathbf{P}(V)$ and $\rho$ the set of conjugates of an element $\neq 1$ of $K^*$, there exists a point $d \in \mathbf{P}(V)$ such that $\begin{bmatrix} a & b \\ d & c \end{bmatrix} = \rho$. 为了使$d$是唯一的，$\rho$由单个点组成是必要且充分的。

(b) 证明

和 （用共轭$\lambda \xi^{-1} \lambda^{-1} = (\lambda \xi \lambda^{-1})^{-1}$（或$1 - \lambda \xi \lambda^{-1} = \lambda (1 - \xi) \lambda^{-1}$）中的$\rho^{-1}$（或$1 - \rho$）集合表示，其中$\xi$是$\rho$中的元素）。

(c) 令 $(a, b, c, d), (a', b', c', d')$ 为 $\mathbf{P}(V)$ 不同的点的两个四元组。为了存在$V$到自身的双射半线性映射，使得$\mathbf{P}(V)$的双射映射$f$到自身，当经过为商时获得，满足条件$f(a) = a', f(b) = b', f(c) = c', f(d) = d'$，存在自同构是充分必要的$\sigma$ / $K$ 使得

对于上述条件的射影群 $\mathbf{PGL}(V)$ 满足的变换 $f$ 的存在，有必要且充分：