习题 16, § 9

(a) 令$E = \mathbf{P}(V)$和$E' = \mathbf{P}(V')$分别为同一维数$n \geq 2$在两个域K、$K'$上的两个射影空间，并令$u$为E在$E'$上的*双射的*映射， 映射任意三个点在一条直线上到三个点在一条直线上。证明存在 K 到 $K'$ 的同构 $\sigma$ 以及 V 到$V'$（相对于 $\sigma$）的双射半线性映射 $v$，使得 $u$ 是从 $v$ 获得的映射，当经过到商（“射影几何的基础定理”；使用习题 7）。还假设 $V' = V$ 和 K 是可交换的；对于 $u$ 是射影映射，必要且充分

对于 $\mathbf{P}(V)$ 中直线上的每个不同点的四元组 $(a, b, c, d)$。

(b) 设$p$为整数，使得$1 \leq p \leq n - 1$。证明当每个$p$维射影线性簇的$u$下的像都包含在$p$维射影线性簇中时，(a)的第一个结论成立。